精选罗素悖论的通俗版又被称为141句文案集锦

一、罗素悖论的通俗版又被称为

1、如果它是非自谓的，就是说它对自身的修饰“非自谓”为假；则根据定义，它应该是自谓的。

2、冷静下来，你意识到了进化版MATLAB的荒谬。

3、为了解决集合论的问题，数学家们目前的选择，是将集合论公理化。

4、我们有理由拥护这样一个相当开放的定义。

5、1908年，策梅罗(ErnstZermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。

6、那么，智慧空间本周的题目也是一道与集合有关的题目，同学们一起来看看吧：

7、如果他给自己理，那他就不是不给自己理发的人。而根据他的宣称，他不能给自己理发；

8、鳄鱼喃喃自语：“如果我吃掉你的孩子，那就说明你答对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃你的孩子，那就说明你答错了，我就应该吃掉孩子。”

9、(p为正整数)的数，如果它同时也是素数，那么便被称为梅森素数。梅森素数根据17世纪法国数学家马兰·梅森命名的，他列出了p≤257的梅森素数，虽然有所遗漏，但是算是一个进步。

10、数学文化发表高质量普及性的文章;主要面向大学生,大学老师和研究生,以及中学老师和学生.本期刊初步设计的栏目包括：数学人物，数学史林，数学烟云，数学趣谈，数学经纬，数学教育，好书推荐。本刊的主要目的是弘扬数学文化,推动数学教育.

11、意想不到的是，表面上看起来，康托的集合论为数学建立了牢不可破的公理体系大厦。当这座大厦快要完工的时候，事情再次出现了转折。第三次数学危机不期而至。

12、这就有点悖论的意思：同一个事实，却推出了不同的结论；每一个结论听起来都合乎逻辑，但合在一起却是荒谬的结果。

13、上面这些就是让数学感到尴尬大事件，这里我们说尴尬这个词，是对绝望、混乱的轻量级描述，而实际上这些纷繁问题都是数学家们经历过的内心体验。但无论怎样，每一次撼动数学的问题也都是对科学向前发展的又一级助推。

14、我们不会去使用“所有事物”(everything)这种大到没边儿的词，诸如此种集合，必须被构建为诸多下属集合(subsets)，而它们又要属于我们已经明确定义的一个更大的集合。

15、KurtGödel,摄于1925(图自维基)

16、为了缓解集合论中的罗素悖论，策梅洛和弗兰克尔以自洽的方式公理化了集合论。然而与欧氏几何中的第五平行公理一样，ZF公理系统中的选择公理既不能被证明，又不能被证伪，又一次引起数学家们的强烈质疑。1931年哥德尔证明了公理系统的不完备定理，指出任何功能强大到足以引起人们兴趣的形式系统，本质上要么是不完整的、要么是不一致的，使得数学基础研究发生了划时代的变化。

17、它的命名很可能来自于一个双重巧合：德国数学家菲利克斯·克莱因提出这个概念，起初命名它为KleinscheFläche”(克莱因平面)，但后者发音与Flasche很相似，而其发育在德语里的意思是“瓶”，后被广为流传，最终也沿用了“克莱因瓶”这种叫法。

18、阿喀琉斯悖论(图自维基)

19、主要作品有《西方哲学史》《哲学问题》

20、17世纪的数学终于迎来了新生。牛顿和莱布尼茨独自发明了微积分，却引发了数学的第二次危机。微积分计算的严格性常常被人诟病，迫切地需要数学理论的澄清。到了19世纪，由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们对无理数理论、不连续函数理论的研究更是需要理解无穷集合的性质。了解"无穷"并深入"无穷"成了迫在眉睫的需求。

二、罗素悖论的通俗版又被称为什么

1、这道高中数学题，就这样简单明了，把我们引向了一个如下的悖论：阿喀琉斯永远也追不上乌龟，无论他有多快。芝诺的这个悖论让运动听上去不符合逻辑。

2、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了 。就在这时 ，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

3、这个命题不够通俗易懂，因此罗素编出了道理相同但更为浅显的理发师悖论，为天下所知。

4、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

5、伯特兰·罗素是一位数学家、哲学家、逻辑学家、历史学家、作家、社会批评家、政治活动家，以及，在我看来，一位值得学习的人物，能从他身上受到启发！

6、明白了这个定义，现在请看这个形容词：“非自谓的”。

7、此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。

8、M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。

9、当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/乌龟仍然前于他1米……

10、一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬)。

11、☞简单的解释，让你秒懂“最优化”问题

12、M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是它的最简单的形式。甲：这句话是错的。M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。

13、英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人。

14、比如，我们有一个所有自然数的集合。

15、M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入了无休止的反复中

16、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

17、请问，他自己的头发由谁来理呢？

18、还有一类悖论抓住了人们认知的漏洞。

19、在19世纪之前，占主流地位的世界观认为数学是自然的语言，人类只能发现而不能发明数学。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，直觉和经验不一定靠得住，因此几何学开始在古希腊数学中占有特殊地位。公元前300年左右，欧几里得在13卷巨著《几何原本》中从十条“不证自明”的公理出发，通过逻辑推理的方法建立了几何学体系，在西方成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。欧氏几何学一直被奉为“真理”和“确定性”的完美典范，提供了关于宇宙确实存在的无可辩驳性最稳固的理论证据牛顿的《原理》就是完全按照《几何原本》的公理化模式写成的。

20、我们经常始于某个直觉概念——关于某物是如何运作的——而后我们发现在自己的直觉中，存在某些奇怪和自相矛盾的东西，随后我们会想办法处理这种奇异性，并解决难题。

三、罗素悖论的简单解释

1、很自然，本身作为一个集合，“所有集合的集合”必须包括其自身，作为一个元素。

2、——他能否创造一块他举不起来的大石头？

3、另外，停机问题和罗素悖论类似，都含有自我指涉的问题。而罗素悖论，通俗描述可比喻为“理发师悖论”：小镇里的理发师表示，他只为且一定要为镇里所有不为自己刮胡子的人刮胡子，那么他该为自己刮胡子吗？1903年，罗素提出了对康托尔集合论的疑问，他构造了一个由一切不属于自身的集合组成的集合S，然后问集合S是否属于集合S，这引发了第三次数学危机。后来在策梅洛等人的改进下，公理化集合论体系，避免了罗素悖论。这次危机让数学家们加强了对数学基础的研究，比如对自我指涉的研究发展成了著名的哥德尔不完备定理。

4、理科少年周彦：围棋4段、会写代码，却说自己像榴莲？老凡尔赛了！

5、我们遇到了一个矛盾：“所有‘不’自含集合的集合”，同时必须既“是”又“不是”自己的一个成员。

6、这个悖论与之前的几个不太一样，它其实代表着一大类数学悖论，其中最有名的就是理发师悖论。

7、小说往往能浮现出现实的影子，事实上，科学研究一直在不断地经历各种理论危机。人类科学史的发展，就是基础理论一次次崩塌、再重建的过程。

8、时至今日，我们已经知道，数学的王国里有无穷无尽的宝藏和果实可供后世的勇士去挖掘和摘取。完美的数学并不存在，人们不必为它的瑕疵而伤心，反而应该为它无限的可能性而欢欣。历史的车轮总能一直向前，数学的未来也一片光明。同时，世界上还有很多永远不能被数学解决的问题，这样的问题甚至比能被数学解决的问题要多得多。世界，在最理性的层面，展示出它迷人而无穷的魅力。人们终将认识到自身的渺小，认识到真理星空的浩瀚，从而永远保持谦卑和谨慎。

9、所以，我可以定义“不是自然数的‘所有实数’的集合”(thesetofallrealnumbersthatarenotnaturalnumbers)，但是我不能制造一个“不是自然数的‘所有东西’的集合”(asetof"everything"thatisnotanaturalnumber)。

10、孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“早上太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。这不正是近大远小导致的吗？”

11、莫比乌斯带，作为第一个不可定向标准范例，也没有像其他那些发现那样动摇数学的基础，它反而是提供了很多实际应用，譬如一种从莫比乌斯带得到灵感的传送带能使用更长的时间，因为可以更好的利用整个带子，或者用于制造磁带，可以承载双倍的信息量。也启发了数学家们构想出更多不可定向曲面，譬如克莱因瓶。

12、微积分入门科普读物，书中以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

13、有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热忱欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，那么问题出现了，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

14、这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

15、其实你也可以简单地做一个莫比乌斯带：拿一个纸条，扭一下然后把两端连接起来。

16、数学界有这样非常有趣的悖论——理发师悖论：

17、悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。

18、这就是著名的“罗素悖论”，它是由英国哲学家罗素提出来的。他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表达出来。

19、老师告诉学生说：“如果我胜诉，法官会判你付学费；如果我败诉，那么根据约定，你还是要付我学费。总之这个钱你是一定要付。”

20、艾伦·图灵曾尝试解决“决策问题”。该问题用简单的话描述就是：致力于找到一个算法它能够回答一个命题是真是假。为了解决这个概念上看似简单实际却难以处理的问题，图灵把它重新阐述为：是否能判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行。

四、罗素悖论的通俗版又被称为( )

1、罗素悖论的意思是由罗素发现的一个集合论悖论,其基本思想是:对于任意一个集合A,A要么是自身的元素。

2、当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；

3、比如芝诺悖论引发了人们对于“无穷”和“无穷小”的思考，从而孕育出了后世的微积分科学；而罗素悖论的消除也使得集合论更加健全。

4、有趣的莫比乌斯带，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。它是一个只有面和一条边的曲面，常常被用来迷惑数学新生。

5、加利福利亚州也不是自然数，所以我们也会把它扔进集合。

6、稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺，曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。

7、从17世纪末莱布尼兹开始，到19世纪中后期经过德摩根、布尔、弗雷格等人的发展，逻辑代数日臻成熟。康托尔认为：“数学的本质完全在于它的自由。”他和戴德金建立的朴素集合论，与逻辑代数可视为硬币的正反两面，为数学的统一提供了一线希望。到19世纪末，数学的目标从研究自然的真理转变为构建公理体系，以及探索公理在逻辑上所有可能的结论，从而将数学和逻辑这两个完全独立的领域紧密联系在一起。20世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以希尔伯特为代表的形式主义、以布劳威尔为代表的直觉主义三大学派之间发生了激辩，从而引发了史上第三次数学危机。

8、监制：中国科学院计算机网络信息中心

9、理发师悖论真是一个悖论吗？

10、在人类历史上，始终不乏先驱思考万事万物的根源，探索宇宙的构成方式和规则。作者称这些先贤为“魔法师”，即“那些发现了过去从未被思考过的数学和自然之间联系的人，那些能够观察复杂的自然现象并从中提炼抽象出如水晶般晶莹剔透、简单易懂的数学规律的人”，并开出了一份魔法师名单。这份名单中的每一位都是柏拉图主义者，排在首位的是希腊化时代的阿基米德，他在数学领域的成就至少领先同代人一个世纪，另外三位则是16至17世纪科学革命时代的巨匠：伽利略、笛卡尔(中文版译为“笛卡儿”)和牛顿。

11、比如，自然数集，再比如，所有的未成年人，等等。这个假设看起来很容易使人信服，但这种不受任何限制的建构集合的方式，就出现了问题。

12、这个词含义丰富，广义上说，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论，这些结论可能会使我们惊异无比。

13、时至今日，公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论。

14、那么我们可以这样来定义一种集合：所有“元素不包括自己的集合”的集合。我们把这个集合叫做A，那么，A的元素包括它自己吗？假设A不包括它自己，那么，A就满足“元素不包括自己的集合”这个性质，所以它就必然包括它自己，这是个矛盾；如果我们假设A包括它自己呢？那么根据A的性质，它必然不包括它自己，也是个矛盾。

15、☞如何向5岁小孩解释什么是支持向量机(SVM)？

16、伊：所有的克里特人都是撒谎者。M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人，他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？

17、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。

18、作者介绍：杨浩，新东方智慧学堂授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。

19、如果说起这个悖论的故事背景，那就要回到19世纪末到20世纪之初，彼时数学界和物理界甚至整个科学界都笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中。

20、而欧拉增强版的哥德巴赫猜想(强哥德巴赫猜想)变为“任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和”，至今还未证明。目前最好的成果是陈景润，达到了“1+2”的程度，即“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两数之和，其中这两个数一个就是奇质数，另一个是两个奇质数的积”。但是，“1+1”的路，还遥遥无期。

五、罗素悖论何时被提出的

1、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。

2、“上帝是数学家吗？”这是美国天体物理学家、数学史学家马里奥•利维奥(MarioLivio)畅销世界的数学思想史经典著作的书名。在本书中，作者通过过历史上大量的例子和故事，试图梳理和展现一些重要数学概念的演进，从哲学、历史、文化的角度全方位地探讨数学的本质，澄清数学与物理世界以及人类认知的关系，从而帮助读者理解数学在人类认识宇宙的历程中所扮演的角色。此书问世十年余以来，广受赞誉。2019年9月，人民邮电出版社将引进了该书，中译本定名为《最后的数学问题》，译者黄征。

3、然而捞到尸体的人要价太高，富户的家人不愿接受，于是他们就找邓析出主意。

4、上千年来的数学研究和哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”

5、罗素悖论(Russell’sParadox)

6、看来这个学生真是把老师的绝招都学全了。

7、库尔特·哥德尔是奥匈帝国的一位逻辑学家、数学家和哲学家。他震撼了19世纪的数学与逻辑学，其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。

8、留言区谈谈你对这个问题的看法，精选2位读者，赠送《最后的数学问题》1本。截止时间：文章发出后24小时。

9、这个难题，很自然地源自我们对“集合”的开放的、朴素的定义。

10、再复杂点，我们还希望考虑“诸多集合的聚集”(collectionsofsets)。

11、幻想很美好，现实很真实。

12、发明“集合论”(settheory)的人同样如此，他们从一个相当模糊的“集合”概念出发，而这种模糊导致了一些严重问题。

13、在程序开始前，一个窗口突然弹出。

14、在朴素集合论里，我们可以用枚举的方式定义一个集合，比如说：集合1={1,2,3}说的是由3三个自然数组成的集合，但是在绝大多数情况下，用枚举的方式来定义集合显然是不现实的，比如说，所有的自然数构成一个自然数集，我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以，朴素的集合论中有一个公理，叫做“无限制概括公理”，说的是：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，构成一个集合。

15、戴维·希尔伯特，德国著名数学家

16、罗素悖论，即一个集合包括自己(例如宇宙包含所有，那么也包含自己)，而这是不成立们强扩被另倒尔的。理发师悖论也是其中一个。有二环气未油施应除防迫解，反正是用集合的问题的，那都是数学增古药乙境剂合线家的事。不是数学家就引入时间就行了，我认为他理发前符合被理发的条件，所军孩需以应该给自己理发，而理完一次呀补就不能理了(把理发的时间看做一瞬间)，不要从集合考虑，会绕昏的。

17、如果回答可以，那么上帝将会遇到一块他举不起来的石头，说明上帝不是万能的；如果说不可以，那自然也说明了上帝有做不到的事情，当然不是万能的。

18、另一个有趣的悖论是，传说有个古希腊人爱瓦梯尔向当时的辩论大师普洛太哥拉斯学习辩术。

19、不妨设所有不包括自己的集合组成集合A：

20、尽管有这些限制，现代集合论的诸种公理，仍然足够灵活，结合形式逻辑的规则，它们基本上为整个现代数学提供了坚实的基础。

1、☞一分钟看懂一维空间到十维空间

2、由于“近大远小”和“近热远冷”都只是常识推论，两者本身都不准确，所以结论不一也不足为奇。

3、罗素悖论在集合论中被以分离公理的形式解决了。罗素悖论是驳斥朴素集合论的集合构造方式，而随后康托将集合论改造了为更严密的公理化集合论，而原本的构造方法被定义为了“类”，集合则需要符合更严格的构造规和静不奏基钟病则

4、数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

5、罗素悖论非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，在他的书即将出版时，整个理论大厦全然崩塌。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

6、目前，关于数学基础的各派思想依然层出不穷，至今没有形成一个在数学界被普遍接受的理论。

7、公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

8、本书中文版语言生动、文笔流畅，但也不无瑕疵。例如译者在书中几处提到“耶稣教会”，显然是混淆了“基督教”(Christianity)与“耶稣会”(SocietyofJesus)的区别。基督教是信仰耶稣基督为神之圣子与救世主的一神教各教派统称，于公元一世纪创立，后分裂为天主教、东正教、新教。而耶稣会则是在宗教改革的冲击下，于1534年在巴黎成立的天主教会主要男修会之其最大特色是兴学办教育。耶稣会在世界各地兴办了多所治学严谨的学府，吸纳自然科学研究成果，成为当今世界最大的办学团体之一。

9、许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特(Hilbert)称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。

10、简单来讲，如果我们假定：这两个竞赛者的速度各自保持恒定，并且阿喀琉斯的速度是乌龟速度的十倍；于是我们可以说：当阿喀琉斯到达乌龟最开始的那个起点(即100米)时，由于乌龟已经向前爬了10米，于是阿喀琉斯还得再跑10米为了能追上，接着当他到达这一个新起点的时候，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向这个1米……

11、罗素悖论还有很多表现形式：

12、康托定理与理发师悖论的比较

13、数学领域是靠创造维系发展的，我们有图灵机，有很炫酷的几何曲面。最重要是，我们拥有可以反复检验心中的预期以及相应于此去合理运用手头工具的那种能力。

14、康托尔的实数集合不可数

15、虽然经过一个多世纪物理学家的努力，大家发现物理学天空已经满满得全是乌云了。

16、*限于作者水平，本文难免有缺漏之处，欢迎指正！

17、让我们首先考虑，“所有自含集合的集合”(thesetofallsetsthatcontainthemselvesaselements)，称之为“A”。

18、悖论，就是自相矛盾的命题。

19、芝诺认为阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

20、如果你认为自己很感兴趣优化，你不觉得这会让你成为一个完美主义者么？而完美主义者不正是追寻最优途径去优化事物么？

1、稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域，经采用我们将奉上稿酬。

2、这些曾充满质疑的伟大时刻帮助了人们能够更睿智地繁衍生息与发展。

3、又称角谷猜想、冰雹猜想

4、尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。然而哥德尔不完备定理则表明：数学的真理性不是绝对可证的，如果我们要证明数学理论的相容性或完备性，必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，数学的确定性却在一步一步地丧失。第三次数学危机则伴随着这种不确定性，以更深刻的形式延续至今。

5、尽管如此，我们不要简单地认为悖论就一定是错误，它的存在就是和科学唱反调。

6、诸如罗素悖论和芝诺悖论，它们的提出并非恶意，是由于实际上确实存在的问题需要解决和解释。

7、古希腊人的先辈赫拉克利特断言世间万事万物都在不断变化，之后，巴门尼德断言并非如此。因此，运动纯粹只是个幻象，于是即便用古希腊人所认为的描述真理的数学也不太可能。

8、(1)如果A包括其自身，那么很好！A会满足“成为A的一个成员”的条件——包括其自身/自含。

9、别忘了把“哲园”也分享给身边爱好哲学、喜欢智慧的小伙伴哦！

10、说谎者悖论：“我正在说的这句话是谎话”。

11、罗素悖论，及其在“现代公理化集合论”(modernaxiomaticsettheory)中的解决，展现了我们对于数学的理解，如何随着时间而进化和精细化。

12、其实恰恰相反，悖论的提出和解决推动着科学的进步。

13、母亲略一思索回答：“你会吃掉我的孩子。”

14、本书中选择的数学家故事，在某种程度上反映了作者的天体物理学家背景和个人偏好，例如他没有提到17和18世纪有关微积分定义中无穷小量的第二次数学危机。而正是这场危机最终完善了微积分定义以及与实数相关的理论系统，促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化及几何非欧化的进程。当然如同作者所言：本书“无意成为一本全面的数学史”，而且“没有一本书能给予那些在帮助人类认识宇宙、理解规律方面做出突出贡献的科学家和数学家完全公正、客观的评价。

15、1901年，罗素发现时至当时已是完善建立的康托集合论存在一个有瑕疵的地方，这把他引向了一个矛盾：任给一个性质，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论。

16、现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”(setsofothersets)。

17、捞到尸体的人等得急了，也去找邓析出主意。

18、先来看《吕氏春秋》中记载的一个故事：春秋末年，有一个著名的讼师(类似于现在的律师)叫邓析。

19、一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，来自他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总给友便是自相矛盾的。这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的称一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

20、1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

1、事实上，基于对“集合”的朴素定义，我们自然会考虑一个“所有事物的集合”(asetofeverything)，或者一个“所有集合的集合”(asetofallsets)。(二者都是自含集合。)